İnsan, kadim gelenekte “hayvan-ı nâtık” (düşünen canlı) olarak tanımlanır. Buradaki “nutuk” sadece ses çıkarmak değil, anlamlı bir dizge oluşturmaktır. Nasıl ki konuşma bir gramere muhtaçsa, düşünce de safsataya düşmemek ve hakikate ulaşabilmek için bir “alet ilmine” muhtaçtır. İşte o alet, İslam filozoflarının “İlmin Terazisi” dediği Mantık ilmidir.
Bugün yaşadığımız entelektüel krizin temelinde malumat eksikliği değil, o malumatı işleyecek zihinsel işlemcinin —yani mantık kurgusunun— bozulmuş olması yatıyor. Bu yazıda mantığın binlerce yıllık serüvenini izleyeceğiz: Medresenin rahlesinden modern matematiğin krizine, oradan da müziğin matematiksel zirvesine. Amaç, aklın sınırlarını ve o sınırların ötesindeki hikmeti aramak.
Aristoteles’in mantık külliyatı “Organon”un Latince bir nüshası
1. Klasik Temel: Tasavvur, Tasdik ve Kıyasın Gücü
Mantık ilminin kurucusu kabul edilen Aristoteles, düşünmeyi formel bir yapıya kavuşturmuştur. İslam dünyasında Farabi ve İbn Sina ile zirveye ulaşan bu klasik mantık, zihni iki temel işlem üzerine kurar: Tasavvur (kavramlaştırma) ve Tasdik (hüküm verme).
Klasik mantığın motoru kıyastır. Kıyas, bilinen öncüllerden bilinmeyen bir sonuca ulaşma işlemidir. Örneğin klasik “Barbara” modu:
- Büyük Öncül: Bütün insanlar ölümlüdür.
- Küçük Öncül: Sokrates bir insandır.
- Sonuç: O halde Sokrates ölümlüdür.
Buradaki kilit nokta “orta terim” olan “insan” kavramıdır. İki öncülü birbirine bağlayan bu terim, sonuçta düşer ve yeni bir bilgi doğar. Klasik mantık sadece formun doğru olmasıyla yetinmez; öncüllerin de kesin doğrulardan olmasını arar.
Kıyasın bu disiplininden sonra, modern dönemde amaç bu yapıyı tamamen sembollere çevirecekti.
2. Modern Dönüşüm: Babil Kulesi İnşa Etmek
On dokuzuncu yüzyıla gelindiğinde Batı dünyası, mantığı dilden ve metafizikten koparıp tamamen sembolik bir yapıya dönüştürmek istedi. Leibniz’in 17. yüzyıldaki “Calculemus!” (Hadi hesaplayalım!) rüyası, yaklaşık iki yüzyıl sonra Frege ve Russell ile ete kemiğe büründü.
Amaç bir aksiyomatik sistem kurmaktı: Matematik ve mantık, birbiriyle çelişmeyen temel kabullerden türetilmeli; bu sistem hem tutarlı hem de tam olmalıydı. Yani sistemin içindeki her doğru önerme, yine sistemin kendi kurallarıyla ispatlanabilmeliydi.
Bertrand Russell ve A.N. Whitehead, “Principia Mathematica” adlı devasa eserlerinde, basit bir “1+1=2”yi ispatlamak için bile yüzlerce sayfa sembolik mantık işlemi yaptılar. Bu, aklın Babil Kulesi’ydi. Tanrı’ya veya sezgiye ihtiyaç duymadan, kendi kendine yeten, kapalı devre mükemmel bir “hakikat makinesi” kurduklarını sandılar.
Russell Paradoksu’nun şematik gösterimi. “Kendini içermeyen kümelerin kümesi” kendini içerir mi? Bu soru, naif küme teorisinin temellerini sarstı.
Peki bu görkemli yapı sağlam mıydı? Cevap, beklenmedik bir yerden gelecekti.
3. Deprem: Gödel ve Eksiklik Teoremleri
1931 yılında, henüz 25 yaşındaki Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel, yayınladığı bir makale ile bu iki bin yıllık rüyayı ve Russell’ın kulesini yerle bir etti.
Gödel’in kullandığı teknik dahiyaneydi. Sembolleri ve formülleri sayılara çeviren bir kodlama kurdu; asal sayıların kuvvetlerini kullanarak her mantıksal ifadeyi tek bir doğal sayıyla temsil edebildi. Böylece “matematik hakkında konuşan cümleleri” yine matematiğin kendisine dönüştürdü. Bu yönteme “aritmetizasyon” deniyor.
Bu teknikle Gödel, sistemin içine şu paradoksal cümleyi yerleştirdi:
“Bu cümle, bu sistem içinde ispatlanamaz.”
Burada keskin bir çatallanma oluştu:
- Eğer sistem bu cümleyi ispatlarsa, cümle “ispatlanamaz” dediği için sistem yalan söylemiş olur. Yani sistem tutarsızdır.
- Eğer sistem bu cümleyi ispatlayamazsa, cümlenin dediği doğrudur. Cümle doğrudur ama sistem onu ispatlayamaz. Yani sistem eksiktir.
Birinci Eksiklik Teoremi şunu kanıtladı: Aritmetiği kapsayan tutarlı her aksiyomatik sistemde, doğru olan fakat sistemin kurallarıyla ispatlanamayan önermeler mutlaka vardır.
İkinci Eksiklik Teoremi ise daha da çarpıcıydı: Böyle bir sistem, kendi tutarlılığını kendi içinden ispatlayamaz. Sistemin tutarlı olduğunu bilmek için sistemin dışına çıkmak gerekir.
Bu sonuç, “tam ve kapalı bir hakikat makinesi” idealinin sınırlarını açıkça ortaya koydu. Akıl, kendi kuyruğunu yakalamaya çalışan bir kedi gibiydi; kendi sınırlarını kendi kendine çizemezdi.
M.C. Escher’in “Resim Galerisi” eseri. Gödel’in teoremi gibi, resim kendi içine bükülerek paradoksal bir döngü oluşturur.
Mantığın bu sınırı, beklenmedik bir yerde —müzikte— yankısını bulmuştu.
4. İşitsel Matematik ve Garip Döngüler: J.S. Bach
Peki 18. yüzyıl barok bestecisi Johann Sebastian Bach’ın bu denklemde ne işi var? Douglas Hofstadter’in kült eseri “Gödel, Escher, Bach”ta anlattığı üzere, Bach, Gödel’in sayılarla yaptığını notalarla yapan bir mimardır.
Bach’ın müziği, özellikle fügleri ve kanonları, duygusal bir taşkınlıktan ziyade katı bir algoritmik yapıya dayanır. Ancak Bach, bu katı sistemin içine Gödelvari “garip döngüler” gizlemiştir.
Yengeç Kanonu: “Musical Offering” eserindeki bu parçada, bir melodi ileriye doğru çalınırken, aynı melodi eş zamanlı olarak sondan başa doğru çalınır. Bu bir Möbius şerididir. Müziğin zamanı bükülür, başlangıç ve son birbirine dolanır.
Sonsuz Yükseliş: Bazı kanonlarında Bach, ton değişimleriyle müziği sürekli yukarı taşır. Kulağınız sürekli yükseldiğinizi sanır, ancak parça bittiğinde başladığınız tona geri dönmüşsünüzdür. Bu “canon per tonos” türü yapılarda yükselme sürüyor gibi hissedilir, ama yapı döngüsel olarak kendine bağlanır. Sistemin kendi içinde hapsoluşunun müzikal ispatıdır.
Bach ile Gödel arasındaki yapısal benzerlik şudur: Her ikisi de sonlu sayıda kuraldan, sonsuz derinlikte ve kendi kendine referans veren yapılar kurmuşlardır. Ancak Bach, Gödel’in “sistemin eksikliği” dediği o boşluğu, insan ruhunu titreten bir estetik aşkınlıkla doldurmuştur.
Bach’ın Yengeç Kanonu’nun Möbius şeridi üzerindeki görselleştirmesi. Başlangıç ve son, iç ve dış birbirine karışmıştır.
Sonuç: Meta-Sistem ve Hikmet Arayışı
Mantık ilminin bu uzun serüveni bize ne anlatıyor?
Aristoteles ve Farabi bize düşüncenin disiplinini verdi. Russell ve modern mantıkçılar, mükemmel bir sistem kurmaya çalıştı. Gödel ise o sistemin içinden sınırları gösterdi. Bach, o sınırlar içinde bile sonsuzluğun duyumsanabileceğini ispatladı.
Gödel’in matematiksel olarak gösterdiği şey şudur: Formel sistemler —yani kesin kurallara dayanan aksiyomatik yapılar— kendi tutarlılıklarını kendi içlerinden ispatlayamaz. Bu, matematiksel bir zorunluluktur.
Peki bu sonuç daha geniş bir felsefi anlam taşır mı? Gödel’in teoremi, hakikatin ispattan büyük olduğunu söylüyor gibi görünür. Bir sistemin —aklın, bilimin, kâinatın— tam ve tutarlı olabilmesi için, o sistemin dışında bir referans noktasına ihtiyaç olup olmadığı sorusu ise tartışmaya açıktır.
Bizim medeniyet tasavvurumuzda bu üst referans; Vahiy’dir, Hikmet’tir. Aklın kendi kendine yetememesi bir acziyet değil, onun aşkın bir kaynağa olan ontolojik muhtaçlığının delili olarak okunabilir.
Yapay zekanın ve algoritmaların dünyasında kaybolmamak için mantığı “doğru düşünmenin aleti” olarak cebimizde taşımalı, fakat “hakikatin kaynağı” olarak gönül ve irfanı —yani sistemin dışındaki o referansı— aramaya devam etmeliyiz.
Zira formül biter, ama mânâ sonsuzdur.